زمانی و نامعینی را که میتوان توسط مدل فازی T-S زیر توصیف نمود در نظر میگیریم:
قانون شماره i سیستم:
اگر و … باشند. آنگاه:
(6-1)
که در رابطه فوق مجموعه فازی بوده و تعداد قوانین مدل میباشد. همچنین بردار حالت، ورودی کنترلی، خروجی اندازه گیری شده، ، ، و ماتریس های حقیقی با ابعاد مناسب بوده و و… متغیر های مفروض شناخته شده میباشند. همچنین اغتشاش خارجی کران دار بوده و نویز اندازه گیری کران دار است. همچنین یک تأخیر زمانی متغیر با زمان نامشخص در سیستم میباشد که شروط و را برآورده میکند. نیز برداری است که شرایط اولیه را مشخص میکند و در نهایت ماتریس هایی از کمیت های نامعین هستند که شرط حد بالایی را ارضا میکنند.
با استفاده از فرآیند غیرفازی سازی، سیستم فازی کلی را میتوان به فرم زیر نوشت:
(6-2)
که در آن داریم:
میزان تعلق نسبی را به مشخص میکند.
اکنون یک مدل مرجع را بصورت زیر در نظر میگیریم:
(6-3)
که در آن بردار حالت مرجع بوده، یک ماتریس پایدار مجانبی را مشخص میکند و بردار خروجی میباشد و همچنین ورودی مرجع کران دار میباشد. فرض بر اینست که برای تمامی زمان های یک خط سیر مطلوب برای را به نمایش میگذارد.
و عملکرد تعقیب مربوط به خطای تعقیب بصورت زیر خواهد بود:
(6-4)
که در آن زمان پایان کنترل است، یک ماتریس وزن دهی نیمه معین مثبت مشخص میباشد و برای تمامی اغتشاشات خارجی ، نویز اندازه گیری و سیگنال مرجع و همچنین سطح تضعیف تعیین شده میباشد. مفهوم فیزیکی رابطه (6-4) آنست که تأثیر هر بر روی خطای تعقیب بایستی تا میزانی کمتر از سطح مطلوب تضعیف گردد.
به منظور حصول چنین عملکردی اقدام به تعریف کنترل کننده فیدبک استاتیک خروجی زیر مینماییم:
قانون کنترل شماره j:
اگر و … ، آنگاه:
(6-5)
اکنون چنانچه ما قانون کنترلی (6-5) را به سیستم (6-2) اعمال کنیم سیستم حلقه بسته زیر بدست می آید. برای سادگی از به جای استفاده میکنیم.
(6-6)
که در آن داریم:
تعریف 6-1
سیستم فازی T-S (6-2) دارای تأخیر زمانی متغیر با زمان نامعلوم ، مدل مرجع (6-3) و عملکرد تعقیب (6-4) را در نظر بگیرید. قانون کنترلی (6-5) یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی مقاوم برای نیل به تعقیب فازی میباشد، چنانچه (6-2) را پایدار سازد و (6-4) را برآورده نماید.
اصل 6-1
قانون کنترلی (6-5) یک قانون کنترلی استاتیک خروجی مقاوم برای نیل به تعقیب فازی میباشد چنانچه ماتریس های معین مثبت مشترک و وجود داشته باشد بطوریکه نامعادلات ماتریسی زیر:
(6-7)
به ازای و برای هر تحقق قابل قبول از ماتریس های عدم قطعیت برقرار باشند.
اثبات
تابع لیاپانوف را بصورت زیر در نظر میگیریم:
(6-8)
مشتق تابع فوق بصورت زیر خواهد بود:
(6-9)
فرض میکنیم که کمتر از مقدار زیر باشد:
(6-10)
بنابراین خواهیم داشت:
(6-11)
اکنون را تعریف میکنیم. خواهیم داشت:
(6-12)
که در آن:
ماتریس فوق نیز با استفاده از مکمل Schur قابل تبدیل به ماتریس رابطه (6-7) خواهد بود.
بنابراین اگر شروط
(6-13)
برای و مشترک برآورده شوند، نتایج زیر حاصل خواهند شد:
امکان پذیر بودن شروط فوق دلالت بر امکان پذیر بودن نامعادلات ماتریسی
(6-14)
به ازای دارد که پایداری مقاوم سیستم حلقه بسته (6-6) را تضمین مینماید.
با انتگرالگیری از رابطه (6-12) خواهیم داشت:
(6-15)
توجه نمایید که:
(6-16)
و همچنین پایداری مقاوم سیستم حلقه بسته دلالت بر این دارد که . بنابراین رابطه زیر حاصل خواهد شد:
(6-17)
و به این ترتیب اثبات تکمیل میگردد.
اکنون تئوری زیر را به منظور ارائه یک روش مبتنی بر LMI-LME جهت طراحی کنترل کننده فیدبک استاتیک خروجی مقاوم برای نیل به تعقیب فازی برای سیستم فازی T-S (6-2) که در بردارنده تأخیر زمانی متغیر با زمان و ماتریس عدم قطعیت میباشد، بیان مینماییم.
تئوری 6-1
سیستم فازی T-S دارای تأخیر زمانی (6-2)، مدل مرجع (6-3) و عملکرد تعقیب (6-4) را در نظر بگیرید. فرض کنید که ماتریس های معین مثبت ، و ، ماتریس های ، اعداد اسکالر مثبت و ماتریس معکوس پذیر مشترک به گونه ای وجود دارند که نامعادلات ماتریسی خطی (6-20)-(6-18) و معادله ماتریسی (6-21) به ازای مقدار خطای تعقیب تعیین شده در (6-4) یعنی برقرار باشند. آنگاه قانون کنترلی (6-5) که از (6-22) قابل حصول است، یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی مقاوم برای نیل به تعقیب فازی میباشد.
(6-18)
که در آن:
(6-19)
که در آن:
(6-20)
که در آن:
(6-21)
بهره کنترل کننده استاتیکی از رابطه زیر بدست می آید:
(6-22)
اثبات
از اصل 6-1 به این نتیجه رسیدیم که سیستم (6-1) پایدار خواهد بود در صورتیکه وجود داشته باشند و بطوریکه نامعادلات ماتریسی
(6-23)
به ازای برقرار باشند.
اکنون جهت اثبات تئوری 6-1 به بیان تعمیم یافته تئوری 1 از ]15[ برای سیستم های فازی و اثبات آن میپردازیم.
تئوری1 از ]15[ بیان میدارد که سیستم (6-1) پایدار است، اگر و تنها اگر وجود داشته باشند ، و بطوریکه نامعادلات ماتریسی
(6-24)
به ازای بر قرار باشند.
بنا بر مطالب ارائه شده در ]15[ اثبات مسئله فوق به این ترتیب است که ابتدا فرض مینماییم که و وجود داشته باشند به گونه ای که نامعادله فوق را به ازای برخی مقادیر برآورده نمایند. اکنون اقدام به کم نمودن طرف چپ نامعادله (6-23) از طرف چپ نامعادله (6-24) مینماییم. خواهیم داشت:
(6-25)
بنابراین چنانچه ثابت نماییم که ماتریس فوق نیمه معین مثبت میباشد در حقیقت درستی رابطه(6-23) را توسط رابطه (6-24) تأیید نموده ایم. برای تمامی داریم:
(6-26)
اکنون داریم:
(6-27)
که از آن میتوان به این نتیجه رسید که ماتریس رابطه (6-25) نیمه معین مثبت است. این مسئله به این معناست که جهت بررسی پایداری سیستم (6-1) میتوان به جای نامعادلات (6-23)، نامعادلات (6-24) را مورد بررسی قرار داد و یا آنرا جایگزین نمود. اکنون با جایگزینی ماتریس رابطه (6-24) در ماتریس رابطه (6-7) و نیز جایگذاری ترم های موجود در آن نامعادلات تئوری6-1 بدست می آیند و اثبات تکمیل میگردد.
تئوری6-1 بیان میدارد که به منظور یافتن یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی که تعقیب فازی را تضمین مینماید، نیازمند یافتن یک پاسخ امکان پذیر برای نامعادلات ماتریسی (6-20)- (6-18) هستیم. توجه نمایید که نامعادلات ماتریسی (6-20)- (6-18) نسبت به تمامی متغیر ها به جز خطی میباشند. اکنون اقدام به ارائه یک الگوریتم خطی سازی مکمل مخروطی49 جهت یافتن یک جواب امکان پذیر میپردازیم. توجه نمایید که متغیر اسکالر و معکوس آن هر دو در (6-20)- (6-18) ظاهر میشوند. در ابتدا بردار زیر از اسکالر های مثبت را تعریف میکنیم:
در گام بعد بردار کمکی زیر را مشابه بردار بالا با اسکالر های مثبت جدید تعریف مینماییم:
به عنوان مثال چنانچه تعداد قوانین برابر 2 باشد خواهیم داشت:
اکنون نامعادلات ماتریسی (6-10)- (6-8) را در نظر میگیریم. در این نامعادلات ابتدا یک مقدار اولیه برای تعیین مینماییم. سپس ترم های را با ترم جدید جایگزین میکنیم. با این عمل ماتریس های ، و را به ترتیب به جای ماتریس های ، و بدست می آوریم. اکنون الگوریتم زیر را جهت یافتن یک پاسخ امکان پذیر برای (6-20)- (6-18) بیان میکنیم.
الگوریتم 6-1
یک مقدار اولیه برای تعیین نمایید. یک پاسخ امکان پذیر و را برای مسئله LMI زیر بیابید:
(6-28)
چنانچه پاسخی یافت نشد، مسئله پاسخ امکان پذیری ندارد و باید از الگوریتم خارج شویم. در غیر اینصورت، قرار میدهیم.
و قرار دهید و و را بیابید که مسئله مقدار ویژه LMI زیر را حل نماید:
(6-28)
یک معیار جهت توقف بکار بگیرید، چنانچه شرایط برآورده گردید از الگوریتم خارج شوید، در غیر اینصورت قرار دهید و به گام 2 بروید.
در ]18[ بیان گردیده است که دنباله از پایین محدود بوده و رو به کاهش میباشد و به کمینه مقدار خود همگرا میگردد و برای حالت کمینه داریم یا ،پس بکار گرفتن الگوریتم فوق موجب یافتن یک جواب امکان پذیر برای نامعادلات ماتریسی (6-20)- (6-18) میگردد و بنابراین بر طبق تئوری 6-1 کنترل کننده فازی فیدبک استاتیک خروجی مقاوم بدست می آید.
از آنجاییکه هدف یافتن حداقل میباشد به این صورت عمل میکنیم که یک مقدار اولیه برای تعیین مینماییم و الگوریتم 6-1 را اجرا میکنیم، اگر به ازای آن مقدار، الگوریتم منجر به یافتن یک جواب امکان پذیر گردید، اقدام به کاهش مقدار مینماییم، به عنوان مثال مقدار آن را به نصف کاهش میدهیم و مجدد الگوریتم را اجرا مینماییم. این کار را تا جایی انجام میدهیم که الگوریتم منجر به جواب نگردد، و به این ترتیب مقدار کمینه را خواهیم یافت.
اکنون کارآمدی کنترل کننده طراحی شده را با اعمال آن به یک سیستم در مثال 6-1 نشان میدهیم.
مثال 6-1
سیستم غیرخطی دارای تأخیر زمانی و عدم قطعیت زیر را در نظر بگیرید:
فرض بر آنست که . سیستم غیرخطی فوق را میتوان توسط مدل فازی T-S زیر نشان داد:
قانون شماره 1: اگر در حدود باشد، آنگاه:
که در آن:
قانون شماره 2: اگر در حدود یا باشد، آنگاه:
که در آن:
لازم به ذکر است که در مدل فازی T-S فوق، هر دو ماتریس و ناپایدار میباشند.
تأخیر زمانی متغیر با زمان در سیستم غیرخطی فوق برابر است با:
دلالت بر این دارد که: و . همچنین برای مدل مرجع (6-3) مقادیر زیر را در نظر میگیریم:
برای ماتریس وزن دهی در (6-4) داریم: . با در نظر گرفتن شرایط اولیه صفر برای سیستم غیرخطی فوق، چنانچه کنترل کننده بهینه را با استفاده از الگوریتم بیان شده محاسبه کنیم، نتایج زیر حاصل خواهند شد:
و برای ماتریس معین مثبت مشترک بدست می آوریم:
مقادیر فوق بهره های زیر را برای کنترل کننده استاتیکی خروجی نتیجه میدهند:
همچنین مقدار بهینه برای برابر است با:
به منظور نشان دادن عملکرد سیستم حلقه بسته یک شبیه سازی در محیط Simulink انجام پذیرفته است. در این شبیه سازی اغتشاشات ورودی و نویز اندازه گیری بصورت زیر در نظر گرفته شده اند:
تصاویر زیر نتایج شبیه سازی را به نمایش میگذارند:
شکل(6-1): دنبال نمودن خروجی مرجع توسط کنترل کننده طراحی شده برای مثال 6-1
شکل (6-2): تغییرات سیگنال کنترلی ورودی مثال 6-1 در گذر زمان
شکل(6-3): تغییرات ضریب تضعیف تعیین شده برای مثال 6-1 در گذر زمان
7- نتیجه گیری و پیشنهاد
در این رساله مسئله کنترل تعقیب برای سیستم های غیرخطی که در ساختار خود دارای تأخیر زمانی و نامعینی میباشند، مورد مطالعه قرار گرفت. در نتیجه اقدامات انجام پذیرفته مجموعه ای از LMI ها حاصل گردید که نه تنها وجود کنترل کننده استاتیکی مقاوم خروجی را تعیین مینمایند بلکه منجر به یافتن کنترل کننده بهینه نیز میگردند. روش ارائه گردیده در مقایسه با کار هایی که تاکنون در

این مطلب رو هم توصیه می کنم بخونین:   دانلود پایان نامه ارشد با موضوعطلاق، شخص ثالث، صحت معامله
دسته‌ها: No category

دیدگاهتان را بنویسید