با روش های حل عددی حل نمود، با این تضمین که در صورت وجود جواب آنرا پیدا خواهد کرد.
شکل(1-1): (الف) مجموعه محدب- (ب) مجموعه غیرمحدب
LMI (1-1) یک نامعادله اکید8 است و فرم غیراکید9 آن بصورت زیر میباشد:
خاصیت تقارن: LMI ها متقارن میباشند. این خاصیت باعث سادگی تعریف آنها میشود چراکه نیازی به مشخص نمودن تمامی عناصر LMI نیست و تنها مشخص کردن عناصر روی قطر اصلی و بالا یا پایین آن کفایت میکند.
نامعادلات غیرخطی را میتوان با استفاده از متمم Schur به فرم LMI تبدیل نمود. ایده اصلی به این ترتیب است:
LMI زیر را در نظر بگیرید:
که در آن ، و بطور خطی به وابسته میباشد.
LMI فوق معادل نامعادلات زیر میباشد
به بیان دیگر مجموعه نامعادلات غیرخطی(1-6) را میتوان بصورت LMI (1-5) نشان داد.
ماتریس ها بعنوان متغیر
ما اغلب با مسائلی مواجه میشویم که در آنها متغیر ها دارای ساختار ماتریسی میباشند، برای مثال نامعادله لیاپانوف
که در آن ماتریسی معین بوده و متغیر میباشد.در این مورد ما صریحاً LMI را به فرم نخواهیم نوشت اما در عوض مشخص خواهیم کرد کدام ماتریس ها متغیر میباشند. اما با این حال میتوان به سادگی نامعادله لیاپانوف را به فرم (1-1) تبدیل کرد.
جعبه ابزار LMI در نرم افزار MATLAB
جعبه ابزار LMI در نرم افزار MATLAB مجموعه ای از توابع مفید برای حل مسائل مربوط به LMI ها را در اختیار کاربر میگذارد.
بطور کلی یک مسئله شامل LMI ها در نرم افزار MATLAB در دو مرحله حل میگردد. ابتدا اقدام به تعریف LMI های موجود در مسئله میکنیم. این مرحله شامل تعیین متغیر های تصمیم گیری در LMI ها و تعریف LMI ها براساس این متغیر ها میباشد. همانطور که در بخش گذشته بحث گردید نمایش های مختلفی برای یک LMI وجود دارد. MATLAB به سادگی از فرم ماتریسی متغیر های تصمیم گیری که در (1-2) داده شده است به جای فرم برداری که در (1-1) داده شده، استفاده میکند. در مرحله دوم مسئله با استفاده از حل کننده های موجود بطور عددی حل میگردد. چنانچه مسئله شامل کمینه سازی یک تابع با متغیر های تصمیم گیری برداری شکل میباشد بایستی اقدام به تبدیل فرم ماتریسی متغیر های تصمیم گیری به فرم برداری با استفاده از توابع لازم نماییم.
تعیین یک سیستم از LMI ها
توصیف یک LMI به سادگی توسط دستور زیر آغاز میشود:
setlmis([]);
همانطور که مشاهده میکنید برای این تابع هیچ پارامتری تعیین نمیگردد.
پس از آن اقدام به تعریف متغیر ها تصمیم گیری با استفاده از دستور lmivar مینماییم.
برای مثال نامعادله ماتریسی خطی را در نظر بگیرید.در اینجا یک ماتریس ثابت و ماتریس متغیر های تصمیم گیری میباشد. تابع lmivar این اجازه را به ما میدهد که چندین فرم مختلف از ماتریس تصمیم را تعریف نماییم. به عنوان مثال فرض میکنیم که یک ماتریس متقارن با ساختار قطری بصورت زیر باشد:
در این مورد دارای بلوک قطری میباشد. اگر در این مثال را برابر 4 در نظر بگیریم و ابعاد ماتریس های به ترتیب برابر 1،3،5و2 و همگی غیرصفر باشند، با استفاده از ستورات زیر تعریف میشود:
structureX=[5,1;3,1;1,0,2,1]
X=lmivar(1,structureX);
در دستورات فوق تعداد سطر های structureX بیانگر آنست که دارای 4 بلوک میباشد. اولین المان از سطر ابعاد بلوک موجود در را مشخص میکند. دومین المان از بلوک نوع بلوک را تعیین مینماید: 1 برای بلوک کامل، 0 برای اسکالر و -1 برای بلوک صفر. عدد 1 در دستور lmivar این موضوع را بیان میکند که یک ماتریس متقارن با ساختار قطری میباشد.
حال چنانچه ساختار متغیر مورد نظر مربعی نباشد و به عنوان مثال ساختاری مستطیلی شکل با 3 سطر و 5 سطون داشته باشد دستور مربوطه به شکل زیر خواهد بود:
lmivar=(2,[3 5])
در گام بعد باید LMI ها را بصورت تک تک تعریف نماییم. برای مثال اگر LMI بخش قبل یعنی را در نظر بگیریم این LMI با دستورات زیر تعریف میگردد:
typeLMI1=[1 1 1 1];
lmiterm(typeLMI1,C,C’);
همانطور که مشاهده میشود در ساده ترین حالت lmiterm سه آرگومان میپذیرد. اولین آرگومان یک بردار میباشد. اولین ستون این بردار شماره LMI مورد تعریف را مشخص میکند که در این مورد LMI شماره 1 در حال تعریف میباشد. ستون دوم و سوم این بردار موقعیت ترم مورد تعریف در LMI را مشخص میکنند و ستون چهارم شماره متغیر تصمیم گیری موجود در ترم مورد نظر را مشخص میکند. آرگومان های دوم و سوم این دستور ضرایب سمت چپ و راست ماتریس تصمیم گیری میباشند. چنانچه بخواهیم نامعادله ماتریسی خطی را تعریف نماییم دستورات بصورت زیر خواهند بود
typeLMI1=[-1 1 1 1];
lmiterm(typeLMI1,C,C’);
بعنوان یک مثال پیچیده تر به منظور آشنایی بیشتر با دستورات دو LMI زیر را در نظر میگیریم:
که در آنها و ماتریس های تصمیم گیری میباشند. ساختار را مانند قبل در نظر گرفته و را یک ماتریس کامل متقارن با بعد 4 در نظر میگیریم. مجموعه دستورات زیر این دو LMI را تعریف میکنند:
structureX = [5,1;3,1;1,0;2,1];
X = lmivar(1,structureX);
structureS = [4,1]
S = lmivar(1,structureS);
lmiterm([1 1 1 1],A,A’); % term AXA’
lmiterm([1 1 1 2],B’,C); % term B’SC
lmiterm([1 1 2 1],1,D); % term XD
lmiterm([1 2 1 1],D’,1); % term D’X
lmiterm([1 2 2 2],1,1); % term S
typeLMI2 = [-1 1 1 1];
lmiterm(typeLMI2,E,E’); % term EXE’
در این مثال به وضوح مشخص است که ترم های دوم و سوم آرگومان اول lmiterm مکان ترم مورد تعریف را در LMI مشخص میکنند.
گام نهایی استفاده از دستور زیر به منظور ایجاد LMI ها میباشد:
LMIs=getlmis;
اکنون نوبت به حل LMI ها میرسد. بطور کلی سه نوع حل کننده LMI در نرم افزار MATLAB مورد استفاده قرار میگیرند که عبارتند از feasp ، mincx و gevp که اولین مورد یعنی feasp برای حل مسئله امکان پذیری LMI ها بصورت زیر مورد استفاده قرار میگیرد:
[tmin,xfeasp]=feasp(LMIs);
که xfeasp شامل متغیر های تصمیم و tmin متغیری است که باید در بهینه سازی منفی گردد.
اکنون برای مشاهده متغیر ها بایستی آنها را به فرم ماتریسی دربیاوریم که این کار با دستور زیر برای مثال قبل امکان پذیر است:
X=dec2mat(LMIs,xfeasp,X);
S=dec2mat(LMIs,xfeasp,S);
پس از این با اجرای فایل نوشته شده نرم افزار به ما میگوید که آیا نامعادلات ماتریسی خطی نوشته شده به ازای پارامتر های موجود امکان پذیر میباشند یا خیر و ما میتوانیم با مشاهده نتایج خواسته های خود را دنبال نماییم.
2- مدل فازی تاکاگی- سوگنو و جبران سازی موازی توزیع شده
2-1- مقدمه
در سال های اخیر شاهد رشد سریع محبوبیت سیستم های کنترل فازی در کاربرد های مهندسی بوده ایم. کاربرد های موفقیت آمیز و بیشمار کنترل فازی موجب انجام فعالیت های گسترده در زمینه آنالیز و طراحی سیستم های کنترل فازی شده است.
این فصل به معرفی مفاهیم پایه، آنالیز و فرآیند های طراحی مدل فازی تاکاگی- سوگنو10 و جبران سازی موازی توزیع شده11 میپردازد. این فصل با معرفی مدل فازی تاکاگی- سوگنو آغاز شده و با روند ایجاد چنین مدل هایی دنبال میشود. سپس یک طراحی کنترل کننده فازی مبتنی بر مدل (model-based) که از مفهوم ” جبران سازی موازی توزیع شده” بهره میبرد، تشریح شده است.
مدل فازی تاکاگی- سوگنو
تشریح روند طراحی را با نمایش دادن یک سیستم غیر خطی توسط مدل فازی تاکاگی- سوگینو آغاز میکنیم.
مدل پیشنهاد شده توسط تاکاگی و سوگنو توسط قوانین فازی اگر- آنگاه12 که رابطه محلی خطی ورودی- خروجی یک سیستم غیر خطی را نشان میدهند، توصیف میشود. مشخصه اصلی یک مدل فازی تاکاگی- سوگنو بیان دینامیک های محلی13 هر قانون فازی14 توسط یک مدل خطی سیستم است. مدل فازی کلی سیستم با ترکیب فازی مدل های خطی سیستم حاصل میشود.
i امین قانون از مدل فازی T-S برای سیستم های فازی پیوسته به شکل زیر است:
اگر و … باشند. آنگاه:
(2-1)
و برای سیستم های فازی گسسته به صورت زیر میباشد:
اگر و … باشند. آنگاه:
(2-2)
که در رابطه فوق مجموعه فازی بوده و تعداد قوانین مدل میباشد. همچنین بردار حالت، بردار ورودی، بردار خروجی، به همراه و ماتریس های فضای حالت سیستم و و… متغیر های مفروض15 شناخته شده میباشند که این متغیر ها میتوانند تابعی از متغیر های حالت، اغتشاشات خارجی و یا زمان باشند. فرض ما بر این است که متغیر های مفروض تابعی از متغیر های ورودی نمیباشند چرا که در آن صورت فرآیند غیر فازی سازی16 کنترل کننده فازی بسیار پیچیده خواهد شد.
پس از غیرفازی سازی، سیستم فازی کلی برای سیستم های پیوسته در زمان را میتوان به فرم زیر نوشت:
(2-3)
همچنین برای سیستم های گسسته روابط بصورت زیر خواهند بود:
(2-4)
که پارامتر های موجود در روابط فوق به شرح زیر میباشند:
ساخت مدل فازی
بطور کلی دو روش برای ساخت مدل فازی وجود دارد که عبارتند از:
تعیین مدل با استفاده از داده های ورودی- خروجی
استخراج مدل از معادلات داده شده سیستم غیر خطی
فرآیند اول بطور عمده شامل دو بخش است: شناسایی ساختار17 و شناسایی پارامتر18. این روش برای سیستم هایی که نشان دادن آنها توسط مدل های تحلیلی و یا فیزیکی دشوار یا غیرممکن است، مناسب میباشد. از سوی دیگر مدل های دینامیک غیرخطی برای سیستم های مکانیکی میتوانند به عنوان مثال با روش لاگرانژ و نیوتن- اویلر به آسانی به دست آیند. در این بخش تمرکز ما بر روی روش دوم خواهد بود که این روش از مفاهیم غیرخطی بودن قطعه ای19 و تقریب محلی20 و یا ترکیب آنها برای ساخت مدل فازی بهره میبرد.
غیرخطی بودن قطعه ای
سیستم ساده را در نظر بگیرید که در آن . هدف یافتن قطعه ای کلی21 است بطوریکه . شکل (2-1) روش غیرخطی بودن قطعه ای را نشان میدهد.
شکل (2-1): غیرخطی بودن کلی قطعه ای
این روش ساخت یک مدل فازی دقیق را تضمین مینماید. اما به هر حال گاهی یافتن قطعه های کلی برای سیستم های غیرخطی عمومی مشکل میباشد. در این موارد ما غیرخطی بودن محلی قطعه ای را در نظر میگیریم. این روش منطقی به نظر میرسد چراکه متغیر های سیستم های فیزیکی همیشه کراندار میباشند. شکل (2-2) غیرخطی بودن محلی قطعه ای را نشان میدهد که در آن دو خط در بازه قطعه های محلی محسوب میشوند. مدل فازی در ناحیه محلی یعنی بطور دقیق سیستم خطی را نمایش میدهد.
شکل (2-2): غیرخطی بودن محلی قطعه ای
مثال 1-1 گام های مشخص در ساخت مدل های فازی را تشریح مینمایند.
مثال 1-1
سیستم غیرخطی زیر را در نظر بگیرید:
برای سادگی فرض میکنیم که و . البته بدیهی که میتوانیم هر محدوده ای را برای آن دو برای ساخت مدل فازی متصور شویم.
معادله فوق را میتوان به فرم زیر نوشت:
که در رابطه فوق بوده و و ترم های غیرخطی میباشند. برای ترم های غیرخطی متغیر هایی را بصورت زیر تعریف میکنیم:
پس خواهیم داشت:
اکنون به محاسبه حداقل و حداکثر مقادیر و زمانیکه و باشند، میپردازیم:
با استفاده از مقادیر حداکثر و حداقل میتوان و را به فرم زیر نمای

این مطلب رو هم توصیه می کنم بخونین:   دانلود پایان نامه ارشد با موضوعشخص ثالث، خانواده ها، جبران خسارت
دسته‌ها: No category

دیدگاهتان را بنویسید